[Physical AI W2D1] 4/6 — 좌표계와 동차 변환 행렬 ①: 좌표계·2D 변환·동차좌표

[Physical AI W2D1 · 4/6]

같은 점도 base_link 기준이냐 map 기준이냐에 따라 값이 달라진다. 좌표계가 필요한 이유부터 2D 회전·이동, 그리고 회전과 이동을 하나의 행렬로 묶는 동차 변환 행렬까지 — RViz에서 본 TF 축의 수학적 정체를 잡는다.

 

이 글에서 잡는 개념
- 왜 좌표계가 필요한가 (frame_id의 수학적 뿌리)
-  전역(map·odom) vs 지역(base_link·laser·camera_link) 좌표계
- 2D 위치·자세 (x, y, θ), 회전 행렬, 이동
- 동차 좌표와 2D 동차 변환 행렬 — 회전+이동을 하나의 행렬로
- 표기법 T_A_B, 행렬 곱셈 순서, 역변환

(3편까지 RViz로 좌표축(TF)을 눈으로 봤습니다. 이제 그 축과 변환의 수학을 잡습니다. 운동학(Week2)의 핵심입니다.)

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1. 왜 좌표계가 필요한가

로봇의 위치·방향·센서 데이터·경로·목표점은 모두 공간 안에서 의미를 가집니다. 그런데 공간상의 위치를 말하려면 반드시 기준이 필요합니다. "앞에 있다"는 말은 누구 기준이냐에 따라 달라지죠.

로봇 앞 장애물 하나도 기준에 따라 값이 완전히 달라집니다.

로봇 기준:   앞으로 2m, 왼쪽 0.5m
지도 기준:   x = 4.2m, y = 1.8m
LiDAR 기준:  각도 15도, 거리 2.1m

 

그래서 ROS 2 메시지의 header.frame_id 가 중요합니다(2편). 값만으로는 공간적 의미를 알 수 없고, 어느 좌표계 기준인지 알아야 합니다.

x = 1.0, y = 0.0
→ base_link 기준이면: 로봇 앞 1m
→ map 기준이면: 지도 원점에서 x로 1m

 

같은 숫자라도 좌표계가 다르면 의미가 완전히 다릅니다. 좌표계는 단순 수학이 아니라 센서 데이터를 올바르게 해석하는 기본 구조입니다.

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2. 전역 좌표계 vs 지역 좌표계

구분	의미	예
전역 좌표계	전체 공간 기준(로봇이 어디 있든 동일)	map, world
지역 좌표계	특정 물체·센서 기준	base_link, laser, camera_link

• 전역: 지도 안 어디에 있는지, 목표가 어디인지(전체 위치 표현에 유리).
• 지역: 로봇 앞에 장애물이 있는지, 센서가 본체 어디에 붙었는지(상대 위치에 유리).

이동 로봇의 전형적 좌표계 트리(2·3편의 그 트리):

map
└── odom
    └── base_link
        ├── laser
        └── camera_link

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3. 2D 위치와 자세

2D 평면에서 점은 (x, y)로 표현합니다.

p = (2, 1)   # 원점에서 x로 2, y로 1

 

그런데 로봇은 위치만이 아니라 방향도 가집니다. 그래서 2D 이동 로봇의 자세는:

pose = (x, y, θ)

θ는 로봇이 바라보는 방향. 이 (x, y, θ) 표현이 Odometry·경로 계획·위치 추정·TF의 기본입니다.

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4. 2D 회전 — 회전 행렬

회전은 원점은 그대로 두고 축의 방향을 돌립니다. 각도 θ만큼 회전하는 회전 행렬:

R(θ) =
[ cosθ  -sinθ ]
[ sinθ   cosθ ]

점 p를 θ만큼 회전한 결과:

[ x' ]   [ cosθ  -sinθ ] [ x ]
[ y' ] = [ sinθ   cosθ ] [ y ]

 

로봇이 방향을 바꾸면 로봇 기준 축도 함께 회전합니다. 그래서 로봇 기준으로 측정한 점을 지도 기준으로 바꾸려면 회전 변환이 필요합니다.

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5. 2D 이동 — 평행이동

이동은 원점이 다른 위치로 옮겨지는 것. x·y 이동량 t = (tx, ty):

[ x' ]   [ x ]   [ tx ]
[ y' ] = [ y ] + [ ty ]

예: (1, 2)를 x로 3, y로 1 이동 → (4, 3).

센서 장착 위치도 이동 변환입니다 — LiDAR가 본체 앞 0.25m면 base_link → laser는 tx=0.25, ty=0.0.

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6. 회전과 이동을 함께 — 동차 좌표

로봇에서 좌표계 관계는 회전과 이동을 동시에 가집니다(예: 카메라가 앞쪽에 + 아래로 기울어짐). 일반 좌표로는 회전은 곱(Rp), 이동은 덧셈(+t)이라 따로 다뤄야 합니다.

p' = Rp + t      ← 회전(곱) + 이동(덧셈), 따로

이걸 하나의 행렬 곱으로 합치려고, 점에 1을 추가합니다. 이게 동차 좌표(homogeneous coordinates) 입니다.

일반:  p = [x, y]ᵀ          동차:  p = [x, y, 1]ᵀ

동차 좌표를 쓰면:

p' = T·p         ← 회전+이동을 한 번에!

T가 동차 변환 행렬입니다. 좌표계 변환을 여러 번 연결할 때 행렬 곱만으로 전체를 계산할 수 있어 로봇공학에서 핵심입니다.

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7. 2D 동차 변환 행렬

2D 동차 변환 행렬의 구조 — 회전 성분 + 이동 성분 + 고정 행 [0 0 1]:

T =
[ cosθ  -sinθ   tx ]
[ sinθ   cosθ   ty ]
[  0       0      1 ]

항목	의미
cosθ, sinθ	회전 성분
tx, ty	x·y 이동량
[0 0 1]	동차 좌표 계산용 고정 행

점에 적용:

[ x' ]   [ cosθ  -sinθ   tx ] [ x ]
[ y' ] = [ sinθ   cosθ   ty ] [ y ]
[ 1  ]   [  0       0      1 ] [ 1 ]

직접 계산해보기 — 90도 회전한 로봇

로봇(base_link)이 odom 기준 x=2.0, y=1.0, θ=90°에 있다고 합시다. cos90°=0, sin90°=1이므로:

T =
[ 0  -1   2 ]
[ 1   0   1 ]
[ 0   0   1 ]

로봇 기준 앞쪽 1m 점 p_base = [1, 0, 1]ᵀ를 odom 기준으로:

p_odom = T · p_base

[ x' ]   [ 0  -1   2 ] [ 1 ]   [ 2 ]
[ y' ] = [ 1   0   1 ] [ 0 ] = [ 2 ]
[ 1  ]   [ 0   0   1 ] [ 1 ]   [ 1 ]

→ odom 기준 (2, 2). 로봇이 90도 돌았으니 "로봇의 앞쪽"이 odom의 y 방향이 된 것이죠. (회전 안 했다면 x로 갔을 겁니다.) 이게 좌표 변환의 핵심 직관입니다.

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8. 점 변환 vs 좌표계 변환 + 표기법

반드시 구분할 두 가지:

• 점 변환: 한 점의 좌표를 다른 기준으로 표현 (예: 장애물 위치 base_link → odom)
• 좌표계 변환: 두 좌표계 사이의 위치·방향 관계 (예: odom → base_link 관계 자체)

ROS 2 TF가 발행하는 Transform은 좌표계 관계이고, 그걸 이용해 점을 변환합니다.

표기법 — 기준을 명확히 하려고 T_A_B를 씁니다.

T_A_B = B 기준 좌표를 A 기준으로 변환하는 행렬
p_A = T_A_B · p_B

예:

• T_odom_base → base_link 점을 odom 기준으로: p_odom = T_odom_base · p_base
• T_base_laser → laser 점을 base_link 기준으로: p_base = T_base_laser · p_laser

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9. 행렬 곱셈 순서 — 체인

행렬 곱은 순서를 바꾸면 결과가 다릅니다(AB ≠ BA). 회전 후 이동 ≠ 이동 후 회전.

여러 좌표계를 연결할 땐 중간 좌표계 이름이 이어지는지 확인합니다. LiDAR 점을 odom까지:

p_odom = T_odom_base · T_base_laser · p_laser

         odom ← base_link ← laser     ← 중간 base가 맞물림 ✓

적용 순서는 오른쪽에서 왼쪽: ① p_laser에 T_base_laser → ② 결과에 T_odom_base → ③ p_odom.

잘못된 순서:  T_base_laser · T_odom_base   ← 좌표계 연결이 안 맞음 ✗

⚠️ 로봇 좌표 변환 오류는 대부분 ① 곱셈 순서 ② frame 이름 혼동 ③ 부모/자식 방향 혼동에서 나옵니다.

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10. 역변환

반대 방향 변환이 필요할 때 역행렬을 씁니다.

T_odom_base:  p_odom = T_odom_base · p_base
역변환:        p_base = T_base_odom · p_odom
              T_base_odom = inverse(T_odom_base)

역변환은 이동을 되돌리고, 회전을 되돌리고, 기준 좌표계를 반대로 바꿉니다.

대표 용도 — 지도 기준 목표점을 로봇 기준으로:

지도 기준 목표점 p_map  →  로봇 기준 p_base
p_base = T_base_map · p_map        (T_base_map = inverse(T_map_base))

로봇이 "그 목표가 내 기준 어느 방향인지" 알아야 제어할 수 있으니, 역변환은 매우 자주 쓰입니다(6편에서 코드로).

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4편 정리

• 좌표계가 필요한 이유 = 같은 점도 기준에 따라 값이 다름(frame_id의 뿌리).
• 전역(map/odom) vs 지역(base_link/laser/camera_link).
• 2D: 위치 (x,y), 자세 (x,y,θ), 회전 R(θ), 이동 t.
• 동차 좌표(끝에 1 추가) → 회전+이동을 한 행렬 곱 p'=T·p로.
• 2D 동차 변환 행렬 = 회전 2×2 + 이동 + [0 0 1]. 90도 예시: 앞 1m → odom (2,2).
• 표기 T_A_B(B→A), 곱셈 순서(체인 odom←base←laser), 역변환(반대 방향).

다음 편 예고

5편에서는 3D로 확장합니다 — 3D 회전 행렬과 4×4 동차 변환 행렬, 그리고 ROS 2 TF와의 관계, 회전을 표현하는 Quaternion과 Roll·Pitch·Yaw, 좌표계 체인이 끊기는 경우, 순기구학·역기구학까지. RViz의 TF 축이 곧 동차 변환 행렬임을 마무리합니다.

📚 Week2 Day1 전체 목차 (총 6편)

• 1/6 RViz로 로봇을 눈으로 보다 — 시각화 흐름·Fixed Frame·Display
• 2/6 RViz 개념 ② — TF·좌표계·URDF·센서 Display·디버깅
• 3/6 RViz2 실습 — GCP VM 헤드리스 GUI + Publisher + 시각화
• 4/6 좌표계와 동차 변환 행렬 ① — 좌표계·2D 변환·동차좌표 — 이번 글
• 5/6 좌표계와 동차 변환 행렬 ② — 3D·TF·Quaternion·기구학
• 6/6 좌표 변환 실습 — Python 변환 + TF Publisher + RViz